Nota penuh: 9.1 Garis Lurus
Semua nota subtopik ini dalam satu halaman — sesuai untuk ulang kaji pantas.
Persamaan y = mx + c: Kod Rahsia Garis Lurus
- Graf y = mx + c = garis lurus: m = kecerunan, c = pintasan-y. 📈
- y = 2x + 9 → m = 2, c = 9. Baca terus, tak payah lukis! 👀
- Syarat: pekali y mesti +1. 3y = –2x + 12 → bahagi 3 → y = –²⁄₃x + 4. ⚠️
m > 0
- Garis mendaki kiri ke kanan ↗
m < 0
- Garis menurun ↘
- Kes istimewa: y = h selari paksi-x, x = h selari paksi-y. 📏
- Garis lalu asalan? Pintasan-y = 0 — contoh y = x, y = –x. 🎯
Contoh
Tentukan kecerunan dan pintasan-y bagi garis lurus 3y = –2x + 12.
- Bahagi setiap sebutan dengan 3 supaya pekali y jadi +1: y = –²⁄₃x + 4
- Bandingkan dengan y = mx + c
- m = –²⁄₃, c = 4
Jawapan: Kecerunan = –²⁄₃, pintasan-y = 4
Tip Power! Trap SPM: nampak –4y = –2x + 5? Jangan terus ambil m = –2! Mesti bahagi sampai pekali y jadi +1 dulu, baru baca nilai m dan c.
Kecerunan: Formula Dua Titik & Formula Pintasan
- Dua titik (x₁, y₁), (x₂, y₂): m = (y₂ – y₁)⁄(x₂ – x₁). 🧮
- Ada pintasan? Shortcut: m = –pintasan-y⁄pintasan-x — jangan lupa tolak! ➖
- Kunci cari pintasan: atas paksi-x → y = 0, atas paksi-y → x = 0. 🔑
Mengufuk (y = 4)
- m = 0
Mencancang (x = 2)
- m tak tertakrif
- Kecerunan sama → sudut θ dengan paksi-x sama → nampak "sama condong". 📐
Contoh
Garis lurus 3x + 5y = 15 memotong paksi-x di (h, 0) dan paksi-y di (0, k). Cari h, k dan kecerunan garis itu.
- Pintasan-x: gantikan y = 0 → 3h = 15, jadi h = 5
- Pintasan-y: gantikan x = 0 → 5k = 15, jadi k = 3
- Kecerunan m = –pintasan-y⁄pintasan-x = –3⁄5
Jawapan: h = 5, k = 3, kecerunan = –³⁄₅
Cara ingat: "y atas, x bawah" — dalam m = (y₂ – y₁)⁄(x₂ – x₁), beza y sentiasa di atas. Jangan terbalik, nanti kecerunan jadi salingan yang salah!
Tiga Bentuk Persamaan Garis Lurus
- Satu garis, tiga bentuk: y = mx + c, am ax + by = c, pintasan x⁄a + y⁄b = 1. 3️⃣
- Bentuk pintasan: a = pintasan-x, b = pintasan-y (a ≠ 0, b ≠ 0). Senang gila! 👀
- Tiga-tiga wakil graf sama jika pintasan-x dan pintasan-y sama. 🎯
- Ke bentuk pintasan: bahagi semua dengan c supaya kanan jadi 1. ➗
- Ke y = mx + c: asingkan y, kemudian bahagi dengan pekali y. 🔄
- Tiga muka, satu garis: 2x + 3y = 12x⁄6 + y⁄4 = 1y = –²⁄₃x + 4
Contoh
Tukarkan 3x – 5y = 15 kepada bentuk x⁄a + y⁄b = 1 dan bentuk y = mx + c.
- Bahagi semua dengan 15: 3x⁄15 – 5y⁄15 = 1 → x⁄5 – y⁄3 = 1
- Untuk y = mx + c: –5y = –3x + 15
- Bahagi dengan –5: y = ³⁄₅x – 3
Jawapan: x⁄5 – y⁄3 = 1 dan y = ³⁄₅x – 3
Tip Power! Soalan minta "bentuk pintasan" tapi jawapan awak x⁄5 – y⁄3 = 1? Perasan tanda tolak tu — maksudnya pintasan-y ialah –3, bukan 3. Tanda ikut sekali!
Titik Atas Garis: Test Ganti Je!
- Titik atas garis = memenuhi persamaan. Ganti x dan y, semak! 🧪
Terletak ✅
- Kiri = kanan
- P(2, 8): 3(2) + 2 = 8 ✓
Tak terletak ❌
- Kiri ≠ kanan
- P(–4, 2): 3(–4) – 2(2) = –16 ≠ 12
- Nilai misteri pun sama: P(2, q) pada 3x + 5y = 15 → 6 + 5q = 15 → q = ⁹⁄₅. 🕵️
Contoh
Tentukan sama ada titik P(6, –2) terletak pada garis lurus x⁄3 + y⁄2 = 1.
- Gantikan x = 6 dan y = –2 di sebelah kiri
- Kiri = 6⁄3 + (–2)⁄2 = 2 – 1 = 1
- Kiri = kanan = 1 → memenuhi persamaan
Jawapan: Ya, P(6, –2) terletak pada garis lurus itu
Tip Power! Soalan bagi titik dengan huruf misteri (macam q)? Jangan panik — ganti koordinat yang diketahui ke dalam persamaan, dan selesaikan macam persamaan linear biasa.
Garis Selari: Kecerunan Kembar
- Peraturan emas: garis lurus yang mempunyai kecerunan yang sama adalah selari — m₁ = m₂.
- Dua garis selari tak akan bersilang — macam landasan kereta api, jalan sampai bila-bila pun tak jumpa.
- Nak check selari? Tukar kedua-dua persamaan kepada y = mx + c dulu, baru banding nilai m.
- Contoh: y = 3x + 5 dan 6x – 2y = 9 → yang kedua jadi y = 3x – ⁹⁄₂. Kecerunan sama-sama 3, jadi selari!
- Contoh tak selari: y = 3x + 8 dan 6y = 3x – 9 → yang kedua jadi y = ½x – ³⁄₂. m tak sama, tak selari.
- Nilai c tak penting untuk keselarian — c cuma tentukan di mana garis potong paksi-y.
Contoh
Garis lurus 4x + 3y = 18 selari dengan garis lurus 2x + hy = 20. Hitung nilai h.
- 4x + 3y = 18 → y = –⁴⁄₃x + 6, jadi m₁ = –⁴⁄₃
- 2x + hy = 20 → y = –(2⁄h)x + 20⁄h, jadi m₂ = –2⁄h
- Selari → m₁ = m₂: –⁴⁄₃ = –2⁄h
- Selesaikan: h = 2 × ³⁄₄
Jawapan: h = ³⁄₂
Cara ingat: "Selari = Sama Slope" — tiga S. Kecerunan sama, sudut dengan paksi-x pun sama, selamanya tak bersilang.
Bina Persamaan Garis Lurus (Skill Wajib SPM!)
- Resepi 4 langkah: ① cari m ② pilih satu titik pada garis ③ ganti m, x, y ke dalam y = mx + c untuk cari c ④ tulis persamaan penuh.
- Diberi kecerunan + satu titik? Terus ke langkah ③. Contoh: m = ½ melalui P(6, 8) → 8 = ½(6) + c → c = 5 → y = ½x + 5.
- Diberi dua titik? Kira m dulu dengan (y₂ – y₁)⁄(x₂ – x₁), lepas tu guna mana-mana satu titik untuk cari c.
- Diberi "selari dengan garis lain"? Curi kecerunan garis itu (sebab m₁ = m₂), lepas tu guna titik yang diberi.
- Garis selari paksi-x melalui (2, 4)? Persamaannya y = 4. Selari paksi-y melalui titik sama? x = 2. Tak perlu formula pun!
Contoh
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik P(–1, 5) dan Q(2, –7).
- Kecerunan: m = (–7 – 5)⁄(2 – (–1)) = –12⁄3 = –4
- Guna titik P(–1, 5): gantikan dalam y = mx + c
- 5 = (–4)(–1) + c → 5 = 4 + c → c = 1
Jawapan: y = –4x + 1
Tip Power! Dah siap? Semak dengan titik kedua: ganti Q(2, –7) → –4(2) + 1 = –7, memang sama. Kalau tak sama, ada silap kira — free checking, kenapa tak buat?
Titik Persilangan: Selesaikan Serentak
- Dua garis lurus yang tidak selari bersilang pada satu titik sahaja — titik itu memenuhi kedua-dua persamaan serentak.
- Kaedah 1: lukis kedua-dua graf pada satah Cartes yang sama dan baca titik persilangan.
- Kaedah 2 (lagi power untuk exam): selesaikan persamaan serentak — guna kaedah penggantian atau kaedah penghapusan.
- Penggantian: asingkan satu pemboleh ubah dari persamaan pertama, ganti ke dalam persamaan kedua.
- Penghapusan: samakan pekali satu pemboleh ubah (darab persamaan), kemudian tambah atau tolak untuk hapuskannya.
- Peringatan textbook: dalam exam, kalkulator hanya dibenarkan untuk menyemak jawapan — kerja kira mesti tunjuk!
Contoh
Tentukan titik persilangan bagi garis lurus 2x + y = 5 dan x + 2y = 1.
- Dari persamaan pertama: y = 5 – 2x
- Ganti dalam persamaan kedua: x + 2(5 – 2x) = 1
- x + 10 – 4x = 1 → –3x = –9 → x = 3
- Ganti balik: y = 5 – 2(3) = –1
Jawapan: Titik persilangan ialah (3, –1)
Cara ingat: "Silang = Serentak" — nak titik persilangan, selesaikan dua persamaan serentak. Jawapan (x, y) mesti puaskan DUA-DUA garis.