Nota penuh: 5.1 Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak
Semua nota subtopik ini dalam satu halaman — sesuai untuk ulang kaji pantas.
Kenal Pasti Sisi: Hipotenus, Bertentangan, Bersebelahan
- Hipotenus
- sisi terpanjang, lawan sudut 90°
- Bertentangan
- menghadap sudut θ (jauh dari θ)
- Bersebelahan
- sentuh sudut θ, bukan hipotenus
- Hipotenus tetap — kedudukan dia tak berubah-ubah! 🔒
- Bertentangan & bersebelahan berubah ikut sudut rujukan — tukar sudut, tukar label! 🔄
- Sudut tirus: 0° < θ < 90°. Dua sudut tirus sentiasa x + y = 90° 📐
Contoh
Dalam segi tiga bersudut tegak ABC (sudut tegak di B), kenal pasti hipotenus, sisi bertentangan dan sisi bersebelahan bagi ∠BAC.
- Hipotenus = sisi menghadap sudut 90° di B, iaitu AC
- Sisi bertentangan ∠BAC = sisi menghadap sudut A, iaitu BC
- Sisi bersebelahan = sisi yang sentuh sudut A (bukan hipotenus), iaitu AB
Jawapan: Hipotenus: AC, bertentangan: BC, bersebelahan: AB
Tip Power! Soalan SPM suka tanya sudut yang lain pula (∠BCA). Bila sudut rujukan bertukar, sisi bertentangan dan bersebelahan bertukar tempat — hipotenus je yang kekal!
Definisi Sin, Kos, Tan
- sin θ
- bertentangan ÷ hipotenus
- kos θ
- bersebelahan ÷ hipotenus
- tan θ
- bertentangan ÷ bersebelahan
- tan θ tak libatkan hipotenus langsung! 🚫
- Nisbah mesti sebutan terendah — 8⁄6 kena tulis 4⁄3 ✂️
- Eh, tahu tak? Trigonometri asal bahasa Yunani: trigonon = tiga sudut, metron = mengukur. Cool kan?
Contoh
Segi tiga bersudut tegak PQR: sudut tegak di Q, PQ = 15 cm, QR = 8 cm. Hitung panjang PR, sin ∠PRQ dan kos ∠PRQ.
- Teorem Pythagoras: PR = √(15² + 8²) = √289 = 17 cm
- Bagi ∠PRQ: sisi bertentangan = PQ = 15, sisi bersebelahan = QR = 8
- sin ∠PRQ = 15⁄17, kos ∠PRQ = 8⁄17
Jawapan: PR = 17 cm, sin ∠PRQ = 15⁄17, kos ∠PRQ = 8⁄17
Cara ingat: SOH-CAH-TOA! Sin = Opposite/Hipotenus (bertentangan⁄hipotenus), Kos = bersebelahan(Adjacent)⁄Hipotenus, Tan = bertentangan⁄bersebelahan. Sebut kuat-kuat: "SOH-CAH-TOA" macam mantera!
Saiz Segi Tiga Tak Penting — Nisbah Kekal!
- Sudut sama → sin, kos, tan = nilai pemalar, apa saiz segi tiga pun! 🔒
- Bukti: 3-4-5 vs 1.5-2-2.5 → sin = 3⁄5 dua-dua. Sisi berkadaran (segi tiga serupa) ✅
- Hafal trirangkap Pythagoras: 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10, 8-15-17, 7-24-25 — jimat masa! ⚡
- Bila sudut θ makin besar, tengok trend ni 👇
- sin θ 📈
- naik: 0° → 0, 90° → 1
- kos θ 📉
- turun: 0° → 1, 90° → 0
- tan θ 🚀
- naik: 0° → 0, 90° → ∞
Tip Power! Trap SPM: pertambahan nilai sin/kos/tan TIDAK berkadaran dengan pertambahan sudut. Sudut naik 2 kali ganda tak bermakna sin naik 2 kali ganda!
Hubungan Sin, Kos & Tan
- Formula power tanpa rajah: tan θ = sin θ ÷ kos θ ⚡
- Cth: sin θ = 0.6, kos θ = 0.8 → tan θ = ¾ = 0.75.
- Diberi satu nisbah je?: Lukis segi tigaPythagoras cari sisi ketigaDapat nisbah lain! 🎉
- Cth: sin ∠QPR = 3⁄5, PR = 20 cm → QR = 12 cm, PQ = √(20² – 12²) = 16 cm, kos ∠QPR = 4⁄5.
- 12-16-20 tu trirangkap 3-4-5 darab 4! Trigo + Pythagoras = combo maut 💥
Contoh
Jika sin θ = 3⁄8 dan tan θ = 3⁄√55, hitung nilai kos θ.
- Guna tan θ = sin θ ÷ kos θ, jadi kos θ = sin θ ÷ tan θ
- kos θ = (3⁄8) ÷ (3⁄√55) = (3⁄8) × (√55⁄3)
Jawapan: kos θ = √55⁄8
Tip Power! Jika tan θ = 1, sisi bertentangan = sisi bersebelahan — segi tiga tu segi tiga bersudut tegak sama kaki, dan θ = 45°!
Sudut Khas 30°, 45°, 60° (Tanpa Kalkulator!)
- 30°
- sin ½ · kos √3⁄2 · tan 1⁄√3
- 45°
- sin 1⁄√2 · kos 1⁄√2 · tan 1
- 60°
- sin √3⁄2 · kos ½ · tan √3
- 30° & 60° datang dari separuh segi tiga sama sisi (sisi 2 unit) 📐
- 45° dari segi tiga sama kaki (kaki 1 unit, hipotenus √2) 📏
- Pattern: sin 30° = kos 60°, sin 60° = kos 30° — sebab 30° + 60° = 90°! 🔁
- √2, √3 = surd (nombor tak nisbah). Tinggalkan dalam surd, jangan bundarkan! 🚫
Contoh
Hitung nilai 3 kos 30° – 2 sin 60° tanpa kalkulator.
- Ganti nilai: 3(√3⁄2) – 2(√3⁄2)
- = 3√3⁄2 – 2√3⁄2
- = √3⁄2
Jawapan: √3⁄2
Cara ingat: Sin ikut tangga naik: sin 30° = ½ → sin 45° = 1⁄√2 → sin 60° = √3⁄2 (makin besar). Kos pula tangga turun — terbalik je!
Kalkulator, Darjah & Minit
- Sudut: darjah ( ° ), minit ( ' ), saat ( '' ). 1° = 60' dan 1' = 60'' — macam jam! ⏰
Perpuluhan → minit
- Darab 60
- 30.2° = 30° 12'
Minit → darjah
- Bahagi 60
- 43° 30' = 43.5°
- Kalkulator saintifik: sin 45° 6' = 0.7083, kos 20.7° = 0.9354, tan 64° 12' = 2.0686 (4 t.p.) 🧮
- Cari sudut daripada nisbah? Tekan shift + sin⁻¹ / kos⁻¹ / tan⁻¹ 🔍
- Cth: sin x = 0.8377 → x = sin⁻¹ 0.8377 = 56.9° = 56° 54'.
Tip Power! Trap pembundaran: kalau unit saat 30'' atau lebih, tambah 1' pada minit. 56° 53' 52.93'' jadi 56° 54', bukan 56° 53'!
Selesaikan Masalah Sebenar (Skill SPM!)
- Langkah emas: Lakar segi tiga bersudut tegakLabel sudut & sisi diberiPilih nisbah (sisi dicari + sisi diketahui)
- Sudut dongak = pandang atas dari pemerhati; sudut tunduk = pandang bawah dari tempat tinggi 👀
- Guna sin
- ada bertentangan + hipotenus
- Guna kos
- ada bersebelahan + hipotenus
- Guna tan
- ada dua sisi tegak
- Cth tangga: sudut 50°, dinding QR = 2.5 m → sin 50° = 2.5⁄PR, PR = 2.5 ÷ sin 50° = 3.26 m (2 t.p.) 🪜
- Soalan 3D (kuboid, piramid)? Cari segi tiga bersudut tegak tersembunyi, settle macam biasa 🔍
Contoh
Kuboid dengan BC = 8 cm, CH = 5 cm dan FG = 4 cm. Segi tiga bersudut tegak FGC dibentuk dalam kuboid. Hitung ∠FCG.
- Cari CG dulu dengan Pythagoras: CG = √(8² + 5²) = √89 cm
- tan ∠FCG = FG ÷ CG = 4⁄√89
- ∠FCG = tan⁻¹ (4⁄√89)
Jawapan: ∠FCG = 22.98° (atau 22° 59')
Tip Power! Sisi yang dicari di bawah pecahan? Jangan panik — susun semula: sin 50° = 2.5⁄PR jadi PR = 2.5 ÷ sin 50°. Ramai calon silap darab!