Nota penuh: 1.2 Hukum Indeks
Semua nota subtopik ini dalam satu halaman — sesuai untuk ulang kaji pantas.
Hukum Darab & Bahagi (Asas Sama)
DARAB ×
- Tambah indeks
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- 2³ × 2⁴ = 2⁷
BAHAGI ÷
- Tolak indeks
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- 4⁵ ÷ 4² = 4³
- Asas berlainan? Kumpul asas sama dulu: m³ × n² × m⁴ × n⁵ = m⁷n⁷ 🧺
- Ada pekali? Kira berasingan: 2k² × 4k³ = 8k⁵ 🔢
- Ingat a = a¹: (–3)⁴ ÷ (–3)² ÷ (–3) = (–3)⁴⁻²⁻¹ = –3 ☝️
Contoh
Ringkaskan 25x²y³ ÷ 5xy.
- Pekali: 25 ÷ 5 = 5
- x: x²⁻¹ = x¹
- y: y³⁻¹ = y²
Jawapan: 5xy²
Cara ingat: Darab = tambah, bahagi = tolak. Kalau darab dapat lebih banyak faktor (tambah), kalau bahagi faktor kena potong (tolak).
Kuasa Dikuasakan
- Kuasa atas kuasa? Darab indeks: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, jadi (3²)⁴ = 3⁸ ✖️
- Kuasa masuk setiap faktor: (aᵐbⁿ)ᵠ = aᵐᵠbⁿᵠ — (p²q³r)⁴ = p⁸q¹²r⁴ 📦
- Pecahan pun sama: (aᵐ ÷ bⁿ)ᵠ = aᵐᵠ ÷ bⁿᵠ 🍰
- Pekali kena kuasa juga: (5m⁴n³)² = 5²m⁸n⁶ = 25m⁸n⁶ ⚠️
- Semak: (4²)³ = (4³)² — dua-dua 4⁶, benar! ✅
Contoh
Permudahkan (2 × 3⁴)².
- Kuasakan setiap faktor: 2² × 3⁴⁽²⁾
- = 2² × 3⁸
Jawapan: 2² × 3⁸ (atau 4 × 6 561 = 26 244)
Tip Power! Kesilapan klasik SPM: (2x³)⁵ = 2x¹⁵ SALAH. Yang betul: 2⁵x¹⁵ = 32x¹⁵. Pekali pun kena kuasa!
Indeks Sifar & Indeks Negatif
- a⁰
- = 1 untuk semua a ≠ 0
- a⁻ⁿ
- = 1/aⁿ — salingan
- 1/a⁻ⁿ
- = aⁿ — contoh: 1/8⁻⁵ = 8⁵
- (a/b)⁻ⁿ
- = (b/a)ⁿ — flip pecahan!
- Bukti a⁰ = 1: 2³ ÷ 2³ = 2⁰, dan bahagi diri sendiri = 1 🧠
- Contoh salingan: 2⁻² = 1/2² = ¼ 🔄
- Awas: 2a⁻ⁿ = 2/aⁿ, bukan 1/(2aⁿ) — hanya a kena kuasa negatif! ⚠️
Contoh
Nyatakan 2m⁻³ dalam bentuk indeks positif.
- Indeks negatif hanya pada m, bukan pada 2
- m⁻³ = 1/m³
Jawapan: 2/m³
Cara ingat: Indeks negatif = "pindah rumah": atas turun bawah, bawah naik atas — tanda negatif hilang bila pindah!
Indeks Pecahan: Punca Kuasa
- a¹⁄ⁿ = ⁿ√a — punca kuasa ke-n: 64¹⁄³ = ∛64 = 4 🌱
- Umum: aᵐ⁄ⁿ = ⁿ√aᵐ = (ⁿ√a)ᵐ — 64²⁄³ = (∛64)² = 16 🎯
- Boleh juga: aᵐ⁄ⁿ = (aᵐ)¹⁄ⁿ = (a¹⁄ⁿ)ᵐ — semua jawapan sama 🤝
- Kira tanpa kalkulator: 16³⁄⁴: Punca dulu: ⁴√16 = 2Kuasa kemudian: 2³ = 8
- Nombor jadi kecil, senang kira: 9⁵⁄² = (√9)⁵ = 3⁵ = 243 💪
Contoh
Hitung nilai 16⁵⁄⁴.
- Punca dulu: ⁴√16 = 2
- Kuasa kemudian: 2⁵ = 32
Jawapan: 32
Cara ingat: Bawah pecahan = punca, atas pecahan = kuasa. "Bawah tanah ada akar (root), atas ada kuasa!"
Selesaikan Persamaan Indeks (Skill SPM!)
- Kunci emas: aᵐ = aⁿ → m = n; aᵐ = bᵐ → a = b 🗝️
- Resipi 3 langkah: Tukar semua ke asas sama (faktor perdana: 2, 3, 5)Gabung jadi satu kuasa kiri & kanan (hukum indeks)Samakan indeks, selesaikan persamaan (linear/kuadratik)
- Hafal kuasa kecil: 9 = 3², 27 = 3³, 8 = 2³, 16 = 2⁴ 🧠
- Siap? Ganti balik x dalam persamaan asal — free markah kepastian! ✅
Contoh
Hitung nilai x bagi 3ˣ × 9ˣ⁺⁵ ÷ 3⁴ = 1.
- Tukar asas sama: 9ˣ⁺⁵ = 3²⁽ˣ⁺⁵⁾ dan 1 = 3⁰
- 3ˣ × 3²ˣ⁺¹⁰ ÷ 3⁴ = 3⁰
- Gabung indeks: 3ˣ⁺²ˣ⁺¹⁰⁻⁴ = 3⁰, jadi 3³ˣ⁺⁶ = 3⁰
- Samakan indeks: 3x + 6 = 0
Jawapan: x = –2
Tip Power! Nampak nombor macam 4, 8, 16, 32 dalam satu soalan? Semuanya kuasa 2 — tukar semua kepada asas 2 dan soalan jadi mudah gila.